وبلاگ گروهی ریاضی

عكس اين قضيه نيز درست است ، يعني اگر اندازه ي ضلع هاي مثلثي در شرط فيثاغورسي (مجموع مجذورهاي دو ضلع ديگر= مجذور وتر) صدق كند، آن‏گاه آن مثلث قائم الزاويه است .                      

 قائم‏الزاويه است.

امروزه مثلث هاي قائم الزاويه اي كه ضلع هاي آن‏ها با اعداد طبيعي بيان مي شوند به «مثلث هاي فيثاغورسي » معروف اند.

مثال: آيا مثلث با توجه به اضلاع داده شده ، قائم الزاويه است؟

پاسخ:

 قائم الزاويه است.

علاوه بر روش ترسيمي كه در كتاب درسي به آن اشاره شده است ، امروزه رياضي دان ها به صدها روش قضيه ي فيثاغورس را اثبات كرده اند و تقريباً هر قرني كه مي گذرد، روش هاي جديدي براي اثبات اين قضيه به‏وجود مي‏آيد.

يكي از روش ها «روش اثبات ذوزنقه اي» است كه تحت عنوان «قضيه ي فيثاغورس » توسط L.S.Loomis (سال هاي 1968ـ1927) اثبات شده است

بيش‏تر بدانيم

اثبات ذوزنقه اي

در شكل زير دو مثلث قائم الزاويه به طول اضلاع ، و طوري قرار گرفته اند كه ذوزنقه ي را به طول قاعده هاي و و ارتفاع تشكيل داده اند. اين دو مثلث با هم مساوي اند، زيرا:

حال از تساوي اجزاي متناظر در اين دو مثلث داريم:

هم چنين ، پس يك مثلث متساوي‏الساقين قائم‏الزاويه است .

چون دو مثلث و با هم مساوي‏اند، داراي مساحت هاي يكسان هستند.

ذوزنقه ي از دو مثلث مساوي و يك مثلث قائم الزاويه ي متساوي الساقين تشكيل شده است ، بنابراين مساحت ذوزنقه برابر مجموع مساحت هاي اين سه مثلث است (مساحت را با نمايش مي دهيم )، يعني داريم:

 مساحت ذوزنقه

 مجموع مساحت هاي سه مثلث

اعداد طبيعي كه اضلاع مثلث هاي قائم الزاويه را تشكيل مي دهند به تايي هاي فيثاغورسي و چنين مثلث هايي به «مثلث هاي فيثاغورسي» معروف اند.

فيثاغورس قاعده اي را به‏دست آورد كه طبق آن مي توان اعداد صحيحي براي مثلث هاي فيثاغورسي به‏دست آورد كه با فرمول زير بيان مي‏شود.

عدد طبيعي دلخواه

مجذور وتر= مجموع مجذور دو ضلع ديگر

خاصيت هاي جالب عددهاي فيثاغورسي

1ـ يكي از ضلع هاي مجاور به زاويه ي قائمه ، مضربي از است .

2ـ يكي از ضلع هاي مجاور به زاويه ي قائمه ، مضربي از است .

3ـ يكي از سه عدد فيثاغورسي ، مضربي از است .