الگوها و فرمولها
الگوها و فرمولها سري حسابي: یک سري حسابي مجموعهاي از اعداد است که هر جملهي آن با افزودن يک عدد ثابت به جملهي قبل ساخته ميشود. براي پيدا کردن مجموع اعداد طبيعي متوالي که با عدد شروع ميشوند، ميتوانيم از فرمول زير استفاده کنيم که در آن S مجموع جملات و n اعداد است. به طور کلي براي پيدا کردن مجموع جملات در هر سري حسابي، به ترتيب زير عمل ميکنيم.
رابطهي بالا به رابطهی «گاوس» معروف است.
تعيين تعداد اعداد در سريهاي حسابي
الف) اگر بخواهيم تعداد اعداد طبيعي متوالي بين n و m را بيابيم، فرمول زير را به کار ميبريم:
1- (عدد اول – عدد آخر) يا
مثال: تعداد اعداد طبيعي متوالي بين و را بهدست آوريد.
پاسخ:
تعداد اعداد طبيعي متوالي بين و
ب) در صورتيکه بخواهيم تعداد اعداد متوالي از n تا m را پيدا کنيم، فرمول زير را به کار ميبريم:
1+ (عدد اول – عدد آخر) يا
مثال: تعداد اعداد را در مجموعهي زير بهدست آوريد.
پاسخ: اگر در يک سري حسابي تفاضل هر جمله از جملهي ماقبل بيش از يک واحد باشد، اين تفاضلها را با d نشان ميدهيم و از فرمول زير براي پيدا کردن تعداد اعداد از n تا m استفاده ميکنيم.
اختلاف دو عدد متوالي= d
مثال: در هر يک از رابطههاي زير تعداد اعداد را پيدا کنيد.
(1
اختلاف دو عدد متوالي است.
(2
اختلاف دو عدد متوالي است.
(3
اختلاف دو عدد متوالي است.
مثال: تعداد اعداد به کار رفته در عبارت زير کدام است؟ حاصل جمع را به دست آوريد.
پاسخ: فاصله هر دو عدد متوالي است.
تعداد اعداد
مجموع اعداد
- در مورد جمع اعداد صحيح مثال زير را بررسي ميکنيم
مثال: حاصل عبارت زير را بهدست آوريد:
روش اول: اعداد داده شده را بهصورت زير دستهبندي
ميکنيم:
تعداد دستهبنديهاي انجام شده برابر تعداد اعداد مثبت (منفي) است. پس داريم:
تعداد
مجموع
روش دوم: مجموع اعداد مثبت و منفي را جداگانه محاسبه ميکنيم.
مثال: حاصل عبارت زير را بهدست آوريد.
پاسخ: اولين و آخرين عدد مثبت و ميباشند.
تعداد
اختلاف دو عدد مثبت متوالي است.
مثال: حاصلعبارتهاي زير را بهصورت عدد تواندار بنويسيد.
(الف
(ب
پاسخ: کافي است مجموع توانها را محاسبه کنيم:
(الف
(ب
مثال: حاصل عبارت زير را محاسبه کنيد.
پاسخ:
مثال: تعداد اعضاي مجموعهي را محاسبه کنيد.
پاسخ: اگر عدد آخر يعني را مساوي و عدد اول يعني را برابر در نظر بگيريم و فاصله ثابت بين هر دو عدد متوالي را در نظر داشته باشيم از فرمول تعداد اعداد قابل محاسبه است.
پاسخ: